カプレカ数 2024年11月22日（金）

たまたまYouTubeで「カプレカ数」を知ったので、ブログに書いてみました。

＜カプレカ数の発見者　Wikipediaより＞

ダッタトリヤ・ラムチャンドラ・カプレカル（マラーティー語: दत्तात्रेय रामचंद्र कापरेकर、Dattatreya Ramchandra Kaprekar、1905–1986）はインドのレクリエーション数学者である。彼は正式な大学院の教育を受けていなかったにもかかわらず、学校の教師として働き、広く出版し、レクリエーション数学界でよく知られるようになった。彼はカプレカー数、ハーシャッド数、自己数などの自然数のいくつかのクラスを定義した。また、カプレカー定数の発見者でもあり、彼にちなんで名づけられた。

＜カプレカ数とは＞

任意の3桁の数、ただし111とか222以外。それを並べ替えてできる一番大きい数字から一番小さい数字を引きます。そこでできた数字をまた同じように繰り返すと、最後には必ず495になる、というもの。

4桁にもあって、4桁の場合は必ず6174になります。

5桁にはありません。

6桁には2つあって549945　と631764です

＜では4桁でやってみましょう＞

適当に考えた数字3891で。

一番大きいのは9831、一番小さいのは1389ですね。

引き算します。

9831－1389＝7992

次は同様に7992を並べかえて引き算。

9972―2799＝7173

次も同様に7173を並べ替えて引き算。

7731－1377＝6354

次も同様に6354を並べ替えて引き算。

6543－3456＝3087

次も同様に3087を並べ替えて引き算。

8730－0378＝8352

次も同様に8352を並べ替えて引き算。

8532－2385＝6147

次も同様に6147を並べ替えて引き算。

7641－1467＝6174

なりました！

どんな数字でも最大7回で6174になるそうです。

たまたま考えた今回の例題の数字↑、最大の７回でした。ちょっと嬉しい。

＜自己数＞

カプレカルは「自己数」も発見しました。

自己数とは、他の整数にその各桁の数を加えることによって生成できない整数のこと。

意味がわかりませんので、例を逆から考えます。

たとえば　15という数字。十の桁の１と一の桁の５を足します。15＋1＋5＝21

ということで21は自己数じゃない。

では25は？

17＋1＋7＝25

自己数じゃない。

では20は？

16＋1＋6＝23　✕　　15＋1＋5＝21　✕　14＋1＋4＝19　✕　

20になるものはないので、20は自己数。

自分で書いておきながらなんだか変だなと思い始めました。

説明の中に「基数10における」という一文を見つけました。

皆様あとはご自分でお調べください。算数のだめな西野真理にはこれが限界です。

＜ハーシャッド数＞

各桁の合計で割り切れる数のこと。

たとえば12はハーシャッド数。

1＋２＝３で、12は３で割り切れますから。

では18は？

１＋８＝9　18は9で割り切れるからハーシャッド数。

25は？

2＋5＝７　25は７で割り切れないのではハーシャッド数ではありません。